- Équation de Schrödinger avec potentiel, linéaire ou non linéaire
- Conditions aux limites artificielles, troncature du domaine de calcul
- Calcul pseudodifférentiel et symbolique
- Estimations a priori
- Schémas semi-discrets en temps, discrétisation d'opérateurs fractionnaires, étude de stabilité
- Méthode éléments finis et simulation numérique
Directeurs de thèse :
- Xavier ANTOINE, Institut Elie Cartan de Nancy, Université de Lorraine
- Christophe BESSE, Laboratoire Paul Painlevé, Université Lille 1
Manuscrit de thèse : Lien sur TEL
L'équation de Schrödinger est une équation fondamentale de la mécanique quantique, intervenant également dans de nombreux autres domaines physiques. Elle fait intervenir une fonction appelée potentiel, linéaire ou non linéaire, pouvant prendre de nombreuses expressions différentes selon le contexte physique. Une des difficultés de la résolution numérique de cette équation vient du fait que le domaine spatial de l'équation est non borné. Pour effectuer une simulation numérique, il faut se restreindre à un domaine borné en espace, en ajoutant à la frontière de ce domaine de calcul des conditions aux limites artificielles (CLA) appropriées.
En dimension un et pour un potentiel nul, la condition aux limites exacte est connue. L'objectif de cette thèse est de généraliser ces résultats à des potentiels linéaires et non linéaires aussi généraux que possible. A cette fin, nous proposons une recherche détaillée de méthodes permettant de prendre en compte le potentiel dans une condition aux limites artificielle. Nous aboutissons à plusieurs familles de conditions aux limites artificielles approchées tenant compte d'un potentiel, sans distinction selon les propriétés mathématiques du potentiel considéré. La construction de ces CLA repose sur l'analyse microlocale et les règles du calcul symbolique associé aux opérateurs pseudodifférentiels. Ces conditions aux limites approchées se prêtent alors à une discrétisation et une implémentation numérique effective, en utilisant essentiellement un schéma de Crank-Nicolson suivi d'une méthode éléments finis linéaires.
Dans ce travail, nous avons élaboré des familles de CLA pour l'équation en dimension une avec potentiel linéaire ou non linéaire, pour le problème stationnaire en dimension une, ainsi que pour l'équation en temps en dimension deux, associée à un potentiel linéaire ou non linéaire. Dans chaque cas, de nombreuses simulations numériques ont été effectuées afin de comparer l'efficacité des conditions aux limites proposées par rapport aux autres méthodes existantes, ainsi que pour comparer entre elles les différentes familles de conditions aux limites construites suivant différentes stratégies.